三乗の公式を一覧で整理！展開・因数分解の符号と覚え方、例題まで徹底解説

三乗の公式は、数学Iの展開・因数分解で押さえておきたい基本公式です。特に間違えやすいのが、(a＋b)³と(a－b)³の展開、そしてa³＋b³とa³－b³の因数分解における符号の違いです。公式を個別に丸暗記すると混同しやすいものの、係数の並び方や符号の規則を理解すれば、計算の途中でも正しい形を組み立てられます。

2026年に高校数学の復習や定期テスト・大学入試対策に取り組む人に向けて、三乗の公式一覧、覚え方、使い分け、計算問題、例題と解き方を順番に解説します。公式を忘れたときに自分で導き直す方法まで身につけ、展開と因数分解の両方に対応できるようにしましょう。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 要点1：(a＋b)³と(a－b)³の展開係数は、どちらも「1・3・3・1」。違いは符号の並び方です。
• 要点2：a³＋b³とa³－b³の因数分解では、最初のかっこと二次式の中央項の符号に注目します。
• 要点3：式の形から展開か因数分解かを見分け、最後に項数・係数・符号を確認すれば、計算ミスを減らせます。

【三乗の公式一覧】展開と因数分解で使う4つの基本形

三乗の公式は、大きく分けると「和と差の立方を展開する公式」と「三乗の和と差を因数分解する公式」の4種類です。まずは、それぞれの形と使う場面を整理しておきましょう。

1．(a＋b)³の展開公式

(a＋b)³は、次のように展開できます。

(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

先頭のa³から末尾のb³まで、4つの項が並びます。中央の2項には、どちらも係数3が付くのが特徴です。

例えば、(x＋2)³なら、a＝x、b＝2と考えます。

(x＋2)³＝x³＋3x²×2＋3x×2²＋2³

＝x³＋6x²＋12x＋8

定数の2を二乗・三乗する箇所と、文字xの次数が下がっていく順番を意識すると、項を取り違えにくくなります。

2．(a－b)³の展開公式

引き算の場合は、次の公式を使います。

(a－b)³＝a³－3a²b＋3ab²－b³

プラスの場合と異なるのは、2番目と4番目の項がマイナスになる点です。符号は「＋、－、＋、－」と交互に並びます。

例えば、(x－2)³は次のように計算できます。

(x－2)³＝x³－3x²×2＋3x×2²－2³

＝x³－6x²＋12x－8

中央の3ab²の項はプラスです。かっこの中が引き算だからといって、展開後の項をすべてマイナスにするのは誤りです。

3．a³＋b³の因数分解公式

三乗の和は、次の積の形に変形できます。

a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)

最初のかっこはa＋b、後ろの二次式はa²－ab＋b²です。中央の項がマイナスになることを覚えておきましょう。

例えば、x³＋8は、8＝2³なので、x³＋2³と見なせます。

x³＋8＝(x＋2)(x²－2x＋4)

このように、数を三乗の形に直してから公式に当てはめると、因数分解がスムーズになります。

4．a³－b³の因数分解公式

三乗の差には、次の公式を使います。

a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

最初のかっこはa－b、後ろの二次式はa²＋ab＋b²です。三乗の和の公式と比べると、後ろの中央項の符号がプラスに変わっています。

例えば、x³－27では、27＝3³なので、次のように因数分解できます。

x³－27＝(x－3)(x²＋3x＋9)

4つの公式は別々に見えますが、展開では係数と符号、因数分解ではかっこの形と中央項の符号に注目すれば、整理して覚えられます。

【符号の違いを比較】三乗の公式の覚え方と混同を防ぐコツ

三乗の公式を覚える際、すべての式を一つずつ暗記する必要はありません。展開と因数分解をそれぞれ同じ視点で整理すると、符号の間違いを減らせます。

展開公式は「1・3・3・1」と符号で覚える

(a＋b)³と(a－b)³の係数は、どちらも「1・3・3・1」です。違うのは、各項に付く符号だけです。

・(a＋b)³：＋、＋、＋、＋

・(a－b)³：＋、－、＋、－

特に重要なのは、引き算の公式でも3ab²の項はプラスになることです。bの次数が奇数か偶数かに注目すると、この違いを理解できます。

(a－b)³を(a－b)(a－b)(a－b)と考えると、bを1回含む項と3回含む項はマイナス、bを2回含む項はプラスになります。これが「＋、－、＋、－」の並びになる理由です。

因数分解公式は「最初のかっこ」と「中央項」をセットで覚える

a³＋b³とa³－b³では、最初のかっこは元の和・差と同じ形です。一方、後ろの二次式では、中央項の符号が逆になります。

・三乗の和：a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)

・三乗の差：a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

覚え方のポイントは、「最初のかっこは元の符号、後ろの中央項は反対の符号」と整理することです。後ろの二次式の両端は、どちらもプラスになります。

この規則を知っていれば、公式の一部を忘れてしまっても、積を展開して確かめながら正しい形を導き直せます。

間違えやすいポイントは「三乗」と「和・差」を区別すること

よくある誤りは、(a＋b)³とa³＋b³を同じものとして扱ってしまうことです。この2つは別の式であり、値も一般には一致しません。

例えば、(1＋2)³＝27ですが、1³＋2³＝9です。

(a＋b)³には、3a²bと3ab²という2つの中央項が含まれます。一方、a³＋b³には、もともと中央項がありません。この違いを理解すれば、展開公式と因数分解公式を混同しにくくなります。

進研ゼミ高校講座の三乗の展開公式の解説でも、展開2式と三乗の和・差の因数分解2式を整理し、係数と符号のパターンを押さえる方法が紹介されています。暗記するときは、4つを一つのセットとして確認するのが効率的です。

【使い分けと見分け方】展開する式か、因数分解する式かを判断する

問題を解くときは、公式を思い出す前に、与えられた式がどの形に当てはまるかを見極めましょう。式の見た目に注目すると、使う公式を判断しやすくなります。

展開は「かっこを外す」、因数分解は「積に戻す」

展開とは、かっこの積を整理して、多項式の形にすることです。例えば、(x＋1)³をx³＋3x²＋3x＋1に変える操作が展開に当たります。

反対に、因数分解は、多項式をいくつかの式の積に変える操作です。x³＋1を(x＋1)(x²－x＋1)に変えるのが、その例です。

つまり、問題の出発点が「三乗のかっこ」なのか、「三乗の項を足し引きした多項式」なのかを確認することが、公式を使い分ける第一歩です。

文字や係数が付いていても、三乗の形に直せばよい

三乗の公式では、aやbが単独の文字である必要はありません。2x、3y、x＋1など、まとまりを一つの文字と考えられる式にも適用できます。

例えば、8x³＋27y³は、(2x)³＋(3y)³と書き換えられます。したがって、三乗の和の公式を使い、次のように因数分解できます。

8x³＋27y³＝(2x＋3y)(4x²－6xy＋9y²)

このように、各項が何の三乗なのかを探すことが、三乗の公式の見分け方として有効です。係数が付いている場合は、8＝2³、27＝3³、64＝4³などの立方数を手がかりにすると判断しやすくなります。

【三乗の公式の計算問題】例題と解き方をステップごとに解説

公式を理解したら、実際の計算で使い分けられるかを確認しましょう。ここでは、展開2問と因数分解2問を取り上げます。

例題1：(2x＋1)³を展開せよ

まず、a＝2x、b＝1として、和の立方の公式を使います。

(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

(2x＋1)³＝(2x)³＋3(2x)²×1＋3(2x)×1²＋1³

各項を計算すると、(2x)³＝8x³、3(2x)²＝12x²、3(2x)＝6xです。

よって、答えは8x³＋12x²＋6x＋1です。

係数の2を三乗する項、二乗する項、一次の項で計算が変わる点に注意してください。

例題2：(2x－3)³を展開せよ

次は、差の立方の公式を使います。

(a－b)³＝a³－3a²b＋3ab²－b³

(2x－3)³＝(2x)³－3(2x)²×3＋3(2x)×3²－3³

各項を整理すると、8x³－36x²＋54x－27となります。

したがって、答えは8x³－36x²＋54x－27です。

特に注意したいのは、3ab²に当たる54xがプラスになる点です。最後の定数項は－27であり、かっこの中の3を三乗してから符号を付けます。

例題3：x³＋64を因数分解せよ

64＝4³なので、x³＋64はx³＋4³と表せます。三乗の和の公式に当てはめましょう。

a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)

x³＋64＝x³＋4³

＝(x＋4)(x²－4x＋16)

答えは(x＋4)(x²－4x＋16)です。

中央項は－4xです。三乗の和であることから、最初のかっこはプラス、後ろの二次式の中央項はマイナスになると判断できます。

例題4：8x³－125y³を因数分解せよ

8x³＝(2x)³、125y³＝(5y)³なので、元の式は(2x)³－(5y)³です。

三乗の差の公式を使うと、次のようになります。

a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

8x³－125y³＝(2x－5y)((2x)²＋(2x)(5y)＋(5y)²)

＝(2x－5y)(4x²＋10xy＋25y²)

三乗の差では、後ろの二次式の中央項がプラスになります。係数を含む文字式では、最初に各項を何の三乗と見なせるかを整理してから公式を適用すると、計算が安定します。

計算後に確認したい3つのチェック項目

展開した場合は、項が4つあるか、係数の並びが1・3・3・1に対応しているか、符号が正しいかを確認しましょう。

因数分解した場合は、最初のかっこが元の和・差と一致しているか、後ろの二次式の中央項が正しいかを確認します。さらに、必要に応じて積を展開し、元の式に戻ることを確かめれば、符号ミスを発見できます。

【公式を忘れても大丈夫】三乗の公式を自分で導く方法

三乗の公式を丸暗記だけに頼ると、試験中に一部を忘れたときに手が止まってしまいます。公式が成り立つ仕組みを理解しておけば、基本的な展開から正しい形を再現できます。

(a＋b)³を分配法則で展開する

三乗は、同じ式を3回かけたものです。まず、次のように書き換えます。

(a＋b)³＝(a＋b)²(a＋b)

二乗の公式を使うと、(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²です。これを代入すると、次の式になります。

(a＋b)³＝(a²＋2ab＋b²)(a＋b)

分配法則でそれぞれの項を掛け合わせると、a³＋a²b＋2a²b＋2ab²＋ab²＋b³です。

同類項をまとめれば、a³＋3a²b＋3ab²＋b³となります。中央の係数が3になるのは、同じ種類の項がそれぞれ3つ分集まるためです。

(a－b)³はbを含む項の符号に注目する

(a－b)³も同じ方法で展開できます。

(a－b)³＝(a²－2ab＋b²)(a－b)

分配法則で展開して同類項を整理すると、a³－3a²b＋3ab²－b³になります。

この導き方を知っていれば、(a－b)³の中央2項の符号を忘れた場合でも、二乗の公式からやり直して正しい答えを求められます。

因数分解の公式は、展開して逆向きに確認する

a³＋b³の因数分解は、次の積を展開すると確認できます。

(a＋b)(a²－ab＋b²)

＝a³－a²b＋ab²＋a²b－ab²＋b³

中央の項が打ち消し合うため、結果はa³＋b³です。

同様に、(a－b)(a²＋ab＋b²)を展開すると、a³＋a²b＋ab²－a²b－ab²－b³となり、整理するとa³－b³が得られます。

因数分解の公式は、展開公式と同じように、分配法則で検算できます。公式を暗記することに加え、積を展開して元の式に戻るかを確かめる習慣を付けると、符号の規則も定着しやすくなります。

【プロの結論】三乗の公式は暗記よりも形と符号の理解が決め手

三乗の公式を使いこなすうえで、最も大切なのは、問題を見た瞬間に4つの基本形を区別できることです。式の形を見極め、展開と因数分解のどちらを使うべきかを判断できれば、不要な計算を避けられます。

学習するときは、次の順番で取り組むと効率的です。

第一に、(a＋b)³と(a－b)³の展開を覚えます。係数は1・3・3・1、符号はそれぞれ「すべてプラス」と「プラス・マイナス・プラス・マイナス」です。

第二に、a³＋b³とa³－b³の因数分解を整理します。最初のかっこは元の和・差と同じで、後ろの二次式の中央項は反対の符号になる、と覚えましょう。

第三に、係数の付いた文字式や立方数を含む問題に取り組みます。例えば、8x³＋27y³なら(2x)³＋(3y)³と見抜く力が必要です。単純な公式問題だけでなく、形を変えて出題される問題まで練習すると、使い分けの判断力が身につきます。

公式の暗記だけで十分なのは、基本形を見分けられ、符号の確認まで自力でできる人です。一方、公式を見ても展開と因数分解の区別が曖昧な人や、中央項の符号を頻繁に間違える人は、分配法則による導出と検算を優先してください。

三乗の公式は、複雑な計算を短くするための道具です。4つの形を理解し、例題で実際に使い、最後に展開して確かめる。この流れを繰り返すことが、定期テストから入試問題まで対応できる確かな基礎につながります。

【三乗の公式】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：三乗の公式は、まず何を覚えればよいですか？
A1：(a＋b)³、(a－b)³の展開公式と、a³＋b³、a³－b³の因数分解公式の4つを覚えましょう。展開は係数1・3・3・1、因数分解は後ろの二次式の中央項の符号に注目すると整理しやすくなります。

Q2：(a－b)³の展開で、なぜ3ab²はプラスになるのですか？
A2：bを2回含む項では、マイナスが2回掛かるためプラスになります。そのため、(a－b)³の符号は「＋、－、＋、－」となり、3ab²はプラスです。

Q3：a³＋b³と(a＋b)³は同じですか？
A3：同じではありません。(a＋b)³を展開すると、a³＋3a²b＋3ab²＋b³となり、中央に2つの項が加わります。a³＋b³には、その中央項がありません。

Q4：三乗の和と差の因数分解は、どう見分けますか？
A4：a³＋b³なら(a＋b)(a²－ab＋b²)、a³－b³なら(a－b)(a²＋ab＋b²)です。最初のかっこは元の式と同じ符号、後ろの二次式の中央項は反対の符号になると覚えてください。

Q5：三乗の公式を忘れたときは、どうすればよいですか？
A5：展開公式は、かっこを二乗してからもう一度かけ、分配法則で整理します。因数分解公式は、候補となる積を展開して元の式に戻るか確認すると、正しい形を導き直せます。

まとめ：三乗の公式を使い分けて計算ミスを防ごう

三乗の公式には、和と差の立方を展開する2つの公式と、三乗の和と差を因数分解する2つの公式があります。展開では係数1・3・3・1と符号の並び方、因数分解では最初のかっこと二次式の中央項の符号が重要です。

2026年の学習でも、公式をただ暗記するのではなく、式の形から使い分けを判断し、必要に応じて自分で導き直せることを目指しましょう。まずは基本の4公式を確認し、展開2問・因数分解2問を自力で解いてみてください。答えを出した後に符号と計算結果を検算する習慣が、三乗の公式を確実に使いこなす近道です。 （出典: 三 乗 の 公式（Yahoo!ニュース））